Из письма в редакцию одного журнала. Небольшой ликбез, где автор показывает ограниченность теоремы Котельникова. Может кому-то пригодится такая точка зрения.
* * *
...Ситуация на самом деле следующая. Кроме чайников из фирмы Sony и подобных, которые рубят капусту, разводя лохов на цифровом звуке, существует огромное количество (около миллиона, наверно) аудиофилов (не путать с педофилами), которые не смотрят на заявленные технические данные аудиотехники, а покупают и слушают музыкально звучащую технику.
Невзирая на цену. Аудиофилы - это целый мир со своими журналами (в России - питерские "Аудио-Магазин" и "Вестник АРА", столичные "Hi-Fi & Music", "Салон AV" и околоаудиофильный "Stereo&Video", в США - "Stereophile", "The Absolute Sound", в Англии - "Hi-Fi News And Record Review" etc.), выставками, магазинами, кланами, дискуссиями и островами в Internet.
Отмечу - аппаратура фирм Sony, Matsushita, Pioneer не считается аудиофильной, поскольку не дотягивает до критериев достаточной музыкальности. Впрочем, японские фирмы это не беспокоит.
Испугаю вас сразу: стоимость отдельных комплектов домашней аудиофильной техники превышает 250000 USD (двести пятьдесят тысяч долларов). То есть люди тратят большие деньги на то, чтобы в три часа ночи послушать Бетховена как в концертном зале. На виниле или с компакт-диска. Но здесь их ждет неприятный на слух сюрприз. Ни за какие деньги по "теореме" отсчетов с компакт диска нельзя будет полноценно восстановить музыку. А вот здесь мы с вами подходим непосредственно к вычислительной теме (журнал-то, чай, про земляные вычисления). Итак, что у нас (у вас) в основе?
Математик Жан Батист Жозеф Фурье (это не тот утопист, который источник и составная часть марксизма, тот - Шарль Фурье) изобрел (это слово мы с вами потом вспомним) на основе трудов полурусского математика Леонарда Эйлера несложный способ представления периодического процесса разнообразной природы путем выражения этого процесса через сумму синусов и косинусов кратных частот. Только для периодических процессов. Ни для каких других. Заранее должно быть известно, что процесс на 100% периодический. Примером могут служить изгибные колебания вращающихся лопастей вертолета (взято мной из книги Носача по интерполяции). В дальнейшем математикам удалось присобачить этот способ для непериодических процессов, точнее, для кусков непериодических процессов. При этом сумма синусов и косинусов обязательно становится бесконечной и поэтому способ имеет исключительно теоретическое значение.
Что сделали из этого в общем-то изящного математического способа радиотехники (инженерами, как назывались специалисты в докоммунистической России, "которую мы потеряли", я бы их не назвал)? Правильно, эти техники его испоганили. Нет, они его донесли до потомков в первозданном виде. Видоизменять его они не стали. Они просто стали применять его везде. Как врач Медуница, применять мед для лечения всех болезней.
Самое смешное, что никто из них не спросил друг друга: братва, а может, у нас с вами сигнал непериодический? Для математика здесь базаров нет: раз исходные условия способа не выполняются - способ неприменим. Радиотехников с их "ускоренными курсами" высшей математики это не останавливало. Так родилась знаменитая "теорема" отсчетов 1933 года товарища Владимира Александровича Котельникова. Ему было тогда 25 лет, жил он в Казани, папа у него был преподавателем высшей математики в Университете, и, по всей видимости, без папы дело не обошлось, поскольку "теорема" отчетов в неявном виде предлагалась много ранее в виде численного метода для интерполяции функций, заданных таблично.
Первая ошибка была в том, что в "теореме" "спектр" сигнала понимался как результат обработки этого сигнала преобразованием Фурье. То есть подразумевалось, что дискретизируемый и восстанавливаемый сигналы - периодические и ограниченные по амплитуде. Поэтому доказательство "теоремы" свелось к тавтологии: условие ограниченности спектра сигнала (по Фурье) сверху эквивалентно представимости сигнала счетным количеством синусоид кратных частот. То есть звучало так: периодический сигнал, который по Фурье можно представить в виде конечной суммы КРАТНЫХ частот, можно восстановить по точкам путем интерполяции конечной суммой Фурье. Радиотехники интерпретируют это так: любой сигнал, в котором удалось с помощью пассивной фильтрации хорошо подавить высшие частоты, можно точно восстановить по отдельным (не очень точным) отсчетам с помощью линейной пассивной же фильтрации нижних частот.
Вторая ошибка заключалась в том, что В. А. Котельников нарисовал график спектра восстанавливаемого сигнала неправильно. Лично я даже в 17 лет рисовал графики намного круче, за что меня и приняли на факультет радиотехники МФТИ. Неправильность графика спектра сигнала по Котельникову состоит в том, что спектр упирается слева в ноль. То есть состоит из бесконечного количества спектральных компонентов низкой частоты. А этого не может быть из-за того, что сигнал тогда не ограничен по амплитуде, то есть не выполняются условия ограниченности амплитуды сигнала, а также и сходимости в бесконечности интеграла Фурье - необходимое условие для существования спектра по Фурье. Сигнал, даже периодический, - для восстановления по Котельникову должен быть ограничен по спектру и снизу. Причем ничуть не хуже, чем сверху.
Вы знаете, в чем прикол? Вы не знаете, так я вам скажу. Прикол в том, что почти все современные микшерные пульты для цифровой звукозаписи имеют очень крутые (не навороченные, а просто с крутым срезом) фильтры высоких частот, которые сильно ослабляют низкочастотные компоненты сигнала. Мало этого, последние модели студийных микрофонов тоже содержат выключаемый обрезной фильтр ВЧ. Зачем? А потому, что так намного лучше звучит. Улавливаете? Что? Вы скажете, что просто низкочастотные компоненты имеют большую амплитуду и перегружают входной аналого-цифровой преобразователь? Прикол-то в том, что лучше звучат и инструменты, не имеющие сильных компонентов низких частот, а также вокал.
Указанное мной требование по ограничению спектра снизу первым заметили в СССР.
А именно, оно сразу неявно вытекает из доказанной теоремы Агеева (описано в книге Финка). Теорема Агеева была как кость в горле у техников-последователей В. А. Котельникова (в то время академик Котельников был, кажется, чуть ли не председателем Верховного Совета РСФСР), и поэтому о ней "забыли". Если бы не книга Финка "Помехи, сигналы, ошибки", я бы тоже о теореме Агеева не знал.
Третья ошибка "теоремы" отсчетов состоит в том, что она "доказана" для сигнала со спектром прямоугольной формы. При этом восстанавливающая (интерполирующая цифровые отсчеты-точки) функция имеет вид sin(x)/x. В "теореме" ничего не говорится о том, какой должна быть восстанавливающая функция для сигнала с непрямоугольным спектром. А она должна иметь совсем другой вид. Я писал об этом в аудиофильном журнале "Класс А", повторю и здесь: лично я нахожу смешным, что именно Котельников много позже своей "теоремы" отсчетов заложил основы теории оптимальной фильтрации, которая утверждает, что для сигналов с разными спектрами нужны разные восстанавливающие функции (читай - разные фильтры). То есть с изменением спектра сигнала нужно менять и выходной фильтр цифро-аналогового преобразователя!
Братва! Вам там, в Москве, ближе, чем мне из Винницы (Винница - это возле Жмеринки): подойдите к академику Владимиру Александровичу Котельникову - ему сейчас 91 год, он жив и редактирует журнал "Радиотехника", - и спросите его, что он думает по поводу ущербности цифрового звука.
Тем не менее, я лично не считаю, что "теорема" отсчетов была тогда большой ошибкой Котельникова. Все-таки 1933 год тогда был. Наоборот, я где-то даже слегка горжусь, что я тоже русский (в широком смысле). Особая гордость меня распирает, когда я вижу, как американцы серьезно относятся к теореме отсчетов, которая сейчас лежит (пока) в основе всей теории связи и анализа радиотехнических цепей. Они даже не шепчут о ее неправильности!
Поясню для несведущего читателя "Компьютерры": для Америки "теорему" отсчетов изобрел Шеннон в 1949 году. Один в один, как у Котельникова! Не через год, не через два, а через 16 лет! С теми же ошибками! Американцев не смущают такие известные понятия, как научный приоритет и плагиат!
Ребята, в американской литературе вообще нет упоминания о человеке по фамилии Котельников! Говорите мне потом об отсутствии идеологической цензуры в Штатах! Ну просто все изобретено в Штатах!
Где выход из цифрового тупика? А спросите у Sony!
Стоп, можете не спрашивать - президент Sony заявил редактору самого массового аудиофильного журнала в мире "Stereophile", что Sony не видит необходимости в новом формате цифрового звука.
Сколько гигабаксов срубила Sony на цифровом звуке? Много. Сколько мегабаксов Sony потратила только на рекламную раскрутку дурацкого (по звуку) mini-disk? Около трехсот миллионов долларов по официальным данным самой Sony. Сколько она потратила на серьезные научные исследования в области звука? Ноль? Чуть больше, чем ноль.
Обратите внимание, mini-disk предназначен Sony для молодежи. У которой еще не сформирован слух и вкус. Старое поколение еще может отличить сухую пустышку цифры от нормального гармоничного звучания живого музыкального инструмента. Знаете чем отличается алгоритм компрессии MP3 от формата ATRAC дурацкого mini-disk фирмы-сами-знаете-какой? Да ничем! Только размером "окна", в котором ведется расчет компрессии. Sony купила весь аналоговый архив хорошей фирмы звукозаписи RCA, и что она собирается с ним сделать? Правильно, перевести в цифровую форму "для лучшей сохраняемости". Акио Морита, основатель и бывший президент Sony умер в Токио 3 октября 1999 года от пневмонии. Он заварил всю эту кашу с цифровым звуком, он бы мог ее сам и остановить. Но он умер, и Sony будет упорно идти к своей цифровой могиле, сверкающей хромированными ручками регулировок, платиновыми улучшенными техническими характеристиками и позолоченными расширенными сервисными функциями.
Кризис радиотехники
А вот и пора поговорить о кризисе в радиотехнике вообще. Кроме ущербности применяемых математических методов существует и кризис теории информации и радиотехнических измерений. Дело вот в чем. Радиотехник измеряет прохождение одного синусоидального сигнала, допустим, через звуковую карту компьютера, и по отсутствию искажений одной синусоиды он делает вывод о том, что и любая комбинация таких сигналов тоже пройдет без искажений.
Приведу такую аналогию: в комнате (радиотракте), в которой вы сейчас сидите, есть дверь (радиоустройство, например звуковая карта). Сквозь дверной проем (пропускная способность устройства) может пройти один любой нормальный человек (моногармонический сигнал - с одним частотным компонентом): женщина, мужчина, ребенок, толстый, худой, высокий, низкий.
Но ведь это совсем не значит, что сквозь эту дверь сможет одновременно пройти и сто и двести человек (гармоник сигнала)!
Теория измерений радиохарактеристик устройств исходит (в 99% случаев) как раз из предположения, что раз хорошо проходит один сигнал, то пройдет и любая его комбинация. А это неверно! Здесь еще непаханое поле для исследований и вычислений....
* * *
Полный текст здесь
_________________ великий квадрат не имеет углов
Добавлено: Пт Окт 28, 2005 10:16
Crus
SynCLUB member
Зарегистрирован: 24.06.2004
Сообщения: 136
Откуда: Москва
:D Смешно.
Простите, если кого обидел.
Добавлено: Пт Окт 28, 2005 12:00
siniquichi
как вариант
Зарегистрирован: 20.09.2004
Сообщения: 358
Откуда: Двоеточие: Здесь:
Никого ты не обидел но без иронии, скажи, почему?
1. В необработанном звуке дофига сколь угодно малых частот...
То есть можно считать в данном случае сигнал железно ограниченным нулём слева без расходимости ряда Фурье, что является необходимым требованием для теоремы котельникова? Мы делаем допущение что функция равна нулю за пределами некоей сетки значений для дискретного ПФ?
Поправьте меня если что
2. Теорема Котельникова распостраняется и на случайные процессы с ограниченным спектром, но тогда такой процесс должен заменяться суммой "как-бы определённых" процессов - кто-нибудь может разъяснить какие функции выполняют в данном случае роль "определённых"?
_________________ великий квадрат не имеет углов
Добавлено: Пт Окт 28, 2005 13:00
pustota
Местный домовой
Зарегистрирован: 10.08.2004
Сообщения: 2359
Откуда: space
Интерестная статья! Давно ужо было это и не помню толком ни чего, но смысл более чем есть!
_________________
Не относитесь слишком серьезно к жизни, живыми вам все равно из нее не выбраться...
Добавлено: Пт Окт 28, 2005 13:05
Чешир
Гуру
Зарегистрирован: 16.09.2003
Сообщения: 1071
siniquichi, это ты с кем вообще разговариваешь?
Добавлено: Пт Окт 28, 2005 14:50
siniquichi
как вариант
Зарегистрирован: 20.09.2004
Сообщения: 358
Откуда: Двоеточие: Здесь:
Да я вот тоже не помню - решил вспомнить, а там несостыковок тьма просто
_________________ великий квадрат не имеет углов
Добавлено: Пт Окт 28, 2005 16:21
Crus
SynCLUB member
Зарегистрирован: 24.06.2004
Сообщения: 136
Откуда: Москва
:) Смешно как статья написана. Очень много воды и громких слов. Это не научная работа, это простите бульварное чтиво. Не, ну почитать конечно весело..
Про периодические сигналы какой-то бред. Причем здесь лопасти вертолета? Надесь никто не сомневается, что сигнал определенной длительности с ограниченным спектром можно разложить в ряд фурье? Ограниченность спектра справа - одно из основных условий теоремы.
Про ограниченность слева - что-то странное :| В теории спектр ограничен слева нулем. А на практике какой-то конечной частотой. Какие бесконечные гармоники? Но тут я возможно просто не в теме.
Дальше про фильтр новый бред. В теореме говорится об идеальном фильтре с вертикальной частотой среза. Это еще одно условие теоремы. Исходный сигнал перед АЦП должен фильтроваться таким же идеальным фильтром. Как такой фильтр реализовать на практике (на чем собственно и пытается выехать автор) - другой вопрос, теоремы не касающийся :)
Вот интересная статья:
http://www.cco.caltech.edu/~boyk/spectra/spectra.htm
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете голосовать в опросах
но без иронии, скажи, почему?
